La ley de los gases ideales es una ley aplicable a gases en un estado ideal, puesto que se considera que no hay fuerzas de atracción ni repulsión entre las partículas del gas, que la energía cinética es directamente proporcional a la temperatura y que las colisiones entre las partículas y entre las partículas y las paredes del recipiente contenedor son elásticas (se conservan momento y energía cinética).
Los gases que más se asemejan a un gas ideal son los monoatómicos, es decir, aquéllos cuyas partículas están formadas por un solo átomo. Los gases nobles son ejemplos de gases monoatómicos: helio (\(\text{He}\)), neón (\(\text{Ne}\)), argón (\(\text{Ar}\)), kriptón (\(\text{Kr}\))...
La ley de los gases ideales relaciona la presión, temperatura, volumen y cantidad de sustancia:
$$ P\cdot V = n\cdot R\cdot T $$
siendo
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\(P\) la presión absoluta en atmósferas (\(\text{atm}\)) o en milímetros de mercurio (\(\text{mmHg}\))
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\(V\) el volumen en litros (\(\text{L}\))
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\(n\) el número de moles del gas (\(\text{mol}\))
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\(R\) la constante universal de los gases ideales
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\(T\) la temperatura en grados Kelvin (\(\text{K}\))
El valor de la constante \(R\) depende de las unidades empleadas en las otras magnitudes. Por ejemplo,
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Si la presión es en atmósferas (\(\text{atm}\)):
$$ R \simeq 0.082 \frac{ \text{atm}\cdot L }{\text{mol}\cdot \text{K} } $$
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Si la presión es en milímetros de mercurio (\(\text{mmHg}\)):
$$ R \simeq 62.36 \frac{\text{mmHg}\cdot L }{\text{mol}\cdot \text{K} } $$
Podemos pasar de \(\text{atm}\) a \(\text{mmHg}\) y viceversa mediante una regla de tres sabiendo que
$$ 1\text{ atm} = 760 \text{ mmHg} $$
Y podemos pasar de grados centígrados (\(^\circ \text{C}\)) a kelvin (\(\text{K}\)) y viceversa sabiendo que
$$ 0^\circ \text{C} = 273.15 \text{ K} $$
Se dispone de un recipiente de \(60\text{ L}\) que contiene un gas a una presión de \(1.64\text{ atm}\) y a una temperatura de \(100\text{ K}\). ¿Qué cantidad de gas hay en el recipiente?
Resolución:
La fórmula de los gases ideales es
$$ P\cdot V = n\cdot R\cdot T $$
Datos que tenemos:
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Presión: \( P = 1.64\text{ atm}\)
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Volumen: \(V = 60\text{ L}\)
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Temperatura: \(T = 100\text{ K}\)
Como tenemos la presión en atmósferas, usaremos \(R = 0.082 \frac{\text{ atm}\cdot L }{ \text{mol}\cdot \text{K}}\).
Despejamos \(n\) en la fórmula:
$$ n = \frac{P\cdot V}{R\cdot T}$$
Sustituimos los datos:
$$ n = \frac{1.64 \cdot 60}{0.082\cdot 100} = 12\text{ mol}$$
Por tanto, en el recipiente hay \(12 \text{ mol}\) de gas.
Problema 1
Se introducen \(0.5 \text{ mol}\) de un gas en un recipiente de paredes rígidas de \(1 \text{ L}\) y se calienta hasta que el gas alcanza una temperatura de \(100^\circ\text{C}\). ¿Cuál es la presión (en atmósferas) que el gas ejerce sobre las paredes del recipiente?
Ver solución
El volumen que ocupa el gas es constante: es el volumen del recipiente que lo contiene.
Escribimos la temperatura en kelvin:
Como \(0^\circ \text{C} \) es \(273.15\text{ K}\),
$$ 100^\circ \text{C} = 373.15\text{ K}$$
Datos que tenemos:
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Volumen: \(V = 1\text{ L}\)
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Cantidad de gas: \( n = 0.5\text{ mol}\)
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Temperatura: \(T = 373.15\text{ K}\)
Como queremos la presión en atmósferas, usaremos \(R = 0.082 \frac{\text{ atm}\cdot L }{ \text{mol}\cdot \text{K}}\).
Despejamos \(P\) en la fórmula de los gases ideales:
$$ P = \frac{n\cdot R \cdot T}{V} $$
Sustituimos los datos:
$$ P = \frac{0.5\cdot 0.082 \cdot 373.15}{1} = 15.3\text{ atm} $$
El gas ejerce una presión de \(15.3\) atmósferas.
Problema 2
Se tiene un gas que ocupa un volumen de \(1 \text{ L}\) a una temperatura de \(283\text{ K}\) y a una presión de \(0.947\text{ atm}\). Si la masa molar de dicho gas es \(M_m = 16\text{ g}\), ¿cuántos gramos de gas hay en total?
Ver solución
Datos que tenemos:
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Volumen: \(V = 1\text{ L}\)
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Presión: \( n = 0.947\text{ atm}\)
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Temperatura: \(T = 283\text{ K}\)
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Constante: \(R = 0.082 \frac{\text{ atm}\cdot L }{ \text{mol}\cdot \text{K}}\)
Calculamos la cantidad de gas:
$$ n = \frac{P\cdot V}{R\cdot T}$$
Sustituimos los datos:
$$ n = \frac{0.947\cdot 1}{0.082\cdot 283} = 0.04 \text{ mol}$$
Como la masa molar es la masa de un mol, si multiplicamos la cantidad de gas (en moles) por su masa molar, obtenemos la masa total del gas en gramos:
$$ 0.04 \text{ mol} \cdot \frac{16\text{ g}}{\text{ mol}} = 0.64\text{ g} $$
Problema 3
Se dispone de un gas que ocupa \(6\text{ L}\) a una temperatura de \(0^\circ \text{C}\) y a una determinada presión. Si se triplica la presión y se aumenta la temperatura a \(67^\circ\text{C}\), ¿qué volumen ocupará el gas?
Ver solución
En este problema tenemos dos momentos o estados: el inicial y el final.
Usamos los subíndices 1 y 2 para referirnos al estado inicial y al final, respectivamente.
Datos:
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Volumen inicial: \(V_1 = 6\text{ L}\)
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Presión inicial: \( P_1\)
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Temperatura inicial: \(T_1 = 0^\circ \text{C} = 273.15\text{ K} \)
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Volumen final: \(V_2\)
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Presión final: \( P_2 = 3\cdot P_1\)
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Temperatura final: \(T_2 = 67^\circ \text{C} = 340.15\text{ K} \)
Las fórmulas de los gases ideales (inicial y final) son
$$ P_1 V_1 = nRT_1 $$
$$ P_2 V_2 = nRT_2 $$
Observad que \(n\) y \(R\) no presentan subíndice: \(n\) es la cantidad de gas, por lo que se mantiene constante (\(n_1 = n_2 = n\)) y \(R\) es una constante.
Despejamos \(n\) en ambas ecuaciones:
$$ n = \frac{R\cdot T_1}{ P_1\cdot V_1} $$
$$ n = \frac{R\cdot T_2}{ P_2\cdot V_2} $$
Como \(n = n\), podemos igualar las expresiones del lado derecho:
$$ \frac{R\cdot T_1}{ P_1\cdot V_1} = \frac{R\cdot T_2}{ P_2\cdot V_2} $$
Despejamos \(V_2\), que es lo que queremos calcular:
$$ V_2 = \frac{R\cdot T_2 \cdot P_1\cdot V_1}{P_2\cdot R\cdot T_1} $$
Ambas \(R\) se cancelan:
$$ V_2 = \frac{ T_2 \cdot P_1\cdot V_1}{P_2\cdot T_1} $$
Sustituimos \(P_2 = 3\cdot P_1\):
$$ V_2 = \frac{ T_2 \cdot P_1\cdot V_1}{3\cdot P_1\cdot T_1} $$
Ambas \(P_1\) se cancelan:
$$ V_2 = \frac{ T_2 \cdot V_1}{3\cdot T_1} $$
Sustituimos los datos:
$$ V_2 = \frac{ 340.15 \cdot 6}{3\cdot 273.15} = 2.49 \text{ L}$$
Por tanto, el gas ocupará un volumen de \(2.49\) litros.
